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几何

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                  几何,就是研究空间结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研究内容之一,与分析、代数等等具有同样重要的地位, 并且关系极为密切。产生于古埃及。

编辑摘要

几何数学定义

几何,就是研究空间结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研究内容之一,与分析、代数等等具有同样重要的地位, 并且关系极为密切。产生于古埃及[1]

几何图形

 

几何名称由来

几何这个词最早来自于希腊语“γεωμετρία”,由“γέα”(土地)和“μετρε ĭν”(测量)两个词合成而来,指土地的测量,即测地术。后来拉丁语化为“geometria”。中文中的“几何”一词,最早是在明代利玛窦、徐光启合译《几何原本》时,由徐光启所创。当时并未给出所依根据,后世多认为一方面几何可能是拉丁化的希腊语GEO的音译,另一方面由于《几何原本》中也有利用几何方式来阐述数论的内容,也可能是magnitude(多少)的意译,所以一般认为几何是geometria的音、意并译。
1607年出版的《几何原本》中关于几何的译法在当时并未通行,同时代也存在着另一种译名——形学,如狄考文、邹立文、刘永锡编译的《形学备旨》,在当时也有一定的影响。在1857年李善兰、伟烈亚力续译的《几何原本》后9卷出版后,几何之名虽然得到了一定的重视,但是直到20世纪初的时候才有了较明显的取代形学一词的趋势,如1910年《形学备旨》第11次印刷成都翻刊本徐树勋就将其改名为《续几何》。直至20世纪中期,已鲜有“形学”一词的使用出现[2]

几何发展

国外
最早记载可以追溯到古埃及、古印度、古巴比伦,其年代大约始于公元前3000年。早期的几何学是关于长度,角度,面积和体积的经验原理,被用于满足在测绘,建筑,天文,和各种工艺制作中的实际需要。 埃及和巴比伦人都在毕达哥拉斯之前1500年就知道了毕达哥拉斯定理(勾股定理);埃及人有方形棱锥的锥台(截头金字塔形)体积正确公式;而巴比伦有一个三角函数表。
中国
中国文明和其对应时期的文明发达程度相当,因此它可能也有同样发达的数学,但是没有那个时代的遗迹可以使我们确认这一点。也许这是部分由于中国早期对于原始的纸的使用,而不是用陶土或者石刻来记录他们的成就。
编辑本段几何学发展及各分支
几何学发展
几何学发展历史悠长,内容丰富。它和代数、分析、数论等等关系极其密切。 几何思想是数学中最重要的一类思想。目前的数学各分支发展都几何化趋向,即用几何观点及思想方法去探讨各数学理论。

最早记载可以追溯到古埃及、古印度、古巴比伦,其年代大约始于公元前3000年。早期的几何学是关于长度,角度,面积和体积的经验原理,被用于满足在测绘,建筑,天文,和各种工艺制作中的实际需要。 埃及和巴比伦人都在毕达哥拉斯之前1500年就知道了毕达哥拉斯定理(勾股定理);埃及人有方形棱锥的锥台(截头金字塔形)体积正确公式;而巴比伦有一个三角函数表。  

几何图形

 

几何几何学发展及各分支

几何学发展历史悠长,内容丰富。它和代数、分析、数论等等关系极其密切。 几何思想是数学中最重要的一类思想。目前的数学各分支发展都几何化趋向,即用几何观点及思想方法去探讨各数学理论。   

平面几何

最早的几何学当属 平面几何。 平面几何就是研究平面上的直线和二次曲线(即圆锥曲线, 就是椭圆、双曲线和抛物线)的几何结构和度量性质(面积、长度、角度)。平面几何采用了公理化方法, 在数学思想史上具有重要的意义。   

平面几何的内容也很自然地过渡到了三维空间的立体几何。 为了计算体积和面积问题, 人们实际上已经开始涉及微积分的最初概念。   

笛卡尔引进坐标系后, 代数与几何的关系变得明朗, 且日益紧密起来。 这就促使了解析几何的产生。解析几何是由笛卡尔、费马分别独立创建的。这又是一次具有里程碑意义的事件。从解析几何的观点出发, 几何图形的性质可以归结为方程的分析性质和代数性质。

几何图形的分类问题(比如把圆锥曲线分为三类),也就转化为方程的代数特征分类的问题, 即寻找代数不变量的问题。

立体几何

立体几何归结为三维空间解析几何的研究范畴, 从而研究二次曲面(如球面,椭球面、锥面、双曲面,鞍面)的几何分类问题, 就归结为研究代数学中二次型的不变量问题。   

总体上说, 上述的几何都是在欧氏空间的几何结构–即平坦的空间结构–背景下考察, 而没有真正关注弯曲空间 下的几何结构。欧几里得几何公理本质上是描述平坦空间的几何特性,特别是第五公设引起了人们对其正确性的疑虑。 由此人们开始关注其弯曲空间的几何, 即“非欧几何 ”。 非欧几何中包括了最经典几类几何学课题, 比如“球面几何”,“罗氏几何 ”等等。另一方面, 为了把无穷远的那些虚无缥缈的点也引入到观察范围内, 人们开始考虑射影几何。

几何图形

  

这些早期的非欧几何学总的来说,是研究非度量的性质,即和度量关系不大, 而只关注几何对象的位置问题–比如平行、相交等等。 这几类几何学所研究的空间背景都是弯曲的空间。   为了引入弯曲空间的上的度量(长度、面积等等), 我们就需要引进微积分的方法去局部分析空间弯曲的性质。微分几何 于是应运而生。 研究曲线和曲面的微分几何称为古典微分几何。 但古典微分几何讨论的对象必须事先嵌入到欧氏空间里,才定义各种几何概念等等(比如切线、曲率)。 一个几何概念如果和几何物体所处的空间位置无关,而只和其本身的性态相关,我们就说它是内蕴的。 用物理的语言来说, 就是几何性质必须和参考系选取无关。   

哪些几何概念是内蕴性质的? 这是当时最重要的理论问题。 高斯发现了曲面的曲率(即反映弯曲程度的量)竟然是内蕴的—尽管它的原始定义看上去和所处的大空间位置有关。 这个重要发现就称为高斯绝妙定理。古典几何的另一个重要发现就是高斯-博纳特公式, 它反映了曲率和弯曲空间里的三角形三角之和的关系。  

研究内蕴几何的学科首属黎曼几何 · 黎曼在一次著名的演讲中,创立了这门奠基性的理论。 它首次强调了内蕴的思想, 并将所有此前的几何学对象都归纳到更一般的范畴里, 内蕴地定义了诸如度量等等的几何概念。 这门几何理论打开了近代几何学的大门, 具有里程碑的意义。它也成为了爱因斯坦的广义相对论的数学基础。   

从黎曼几何出发, 微分几何进入了新的时代,几何对象扩展到了流形(一种弯曲的几何物体)上–这一概念由庞加莱引入。 由此发展出了诸如张量几何、黎曼曲面理论、复几何、霍奇理论、纤维丛理论、芬斯勒几何 、莫尔斯理论、形变理论等等。   

从代数的角度看, 几何学从传统的解析几何发展成了更一般的一门理论–代数几何。传统代数几何就是研究多项式方程组的零点集合作为几何物体所具有的几何结构和性质–这种几何体叫做代数簇。 解析几何所研究的直线、圆锥曲线、球面、锥面等等都是其中的特例。稍微推广一些,就是代数曲线, 特别是平面代数曲线, 它相应于黎曼曲面。代数几何可以用交换代数的环和模的语言来描述, 也可以从复几何、霍奇理论等分析的方法去探讨。 代数几何的思想也被引入到数论中, 从而促使了抽象代数几何的 发展,比如算术代数几何。   

和传统几何密切相关的一门重要学科,就是拓扑学。 它也可以视为一种“柔性”的几何学, 也是所有几何学的研究基础。 这门学科的雏形由庞加莱创造, 后来发展成了成熟的数学理论。 拓扑学思想是数学思想中极为关键的内容。它讨论了刻画几何物体最基本的一些特征, 比如亏格(洞眼个数)等等 。由此还发展出了同调论、同伦论等等基础性的理论。   

除了以上传统几何学之外, 我们还有闵可夫斯基建立的“数的几何” ; 与近代物理学密切相关的新学科“热带几何”;探讨维数理论的“分形几何”;还有“凸几何”、“组合几何”、“计算几何”、“排列几何”、“直观几何”等等。[3]

几何希尔伯特《几何基础》

人们对《几何原本》中在逻辑结果方面存在的一些漏洞、破绽的发现,正是推动几何学不断向前发展的契机。最后德国数学家希尔伯特在总结前人工作的基础上,在他1899年发表的《几何基础》一书中提出了一个比较完善的几何学的公理体系。这个公理体系就被叫做希尔伯特公理体。   

希尔伯特不仅提出了—个完善的几何体系,并且还提出了建立一个公理系统的原则。就是在一个几何公理系统中,采取哪些公理,应该包含多少条公理,应当考虑如下三个方面的问题:   
第一,共存性(和谐性),就是在一个公理系统中,各条公理应该是不矛盾的,它们和谐而共存在同一系统中。   
第二,独立性,公理体系中的每条公理应该是各自独立而互不依附的,没有一条公理是可以从其它公理引伸出来的。   
第三,完备性,公理体系中所包含的公理应该是足够能证明本学科的任何新命题。   

这种用公理系统来定义几何学中的基本对象和它的关系的研究方法,成了数学中所谓的“公理化方法”,而把欧几里得在《几何原本》提出的体系叫做古典公理法。   
公理化的方法给几何学的研究带来了一个新颖的观点,在公理法理论中,由于基本对象不予定义,因此就不必探究对象的直观形象是什么,只专门研究抽象的对象之间的关系、性质。从公理法的角度看,我们可以任意地用点、线、面代表具体的事物,只要这些具体事物之间满足公理中的结合关系、顺序关系、合同关系等,使这些关系满足公理系统中所规定的要求,这就构成了几何学。   
因此,凡是符合公理系统的元素都能构成几何学,每一个几何学的直观形象不止只有—个,而是可能有无穷多个,每一种直观形象我们把它叫做几何学的解释,或者叫做某种几何学的模型。平常我们所熟悉的几何图形,在研究几何学的时候,并不是必须的,它不过是一种直观形象而已。   
就此,几何学研究的对象更加广泛了,几何学的含义比欧几里得时代更为抽象。这些,都对近代几何学的发展带来了深远的影响。

几何几何定理

1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)   

2、射影定理(欧几里得定理)  

3、三角形的三条中线交于一点,并且,各中线被这个点分成2:1的两部分   

4、四边形两边中心的连线与两条对角线中心的连线交于一点   

5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。   

6、三角形各边的垂直平分线交于一点。   

7、三角形的三条高线交于一点   

8、设三角形ABC的外心为O,垂心为H,从O向BC边引垂线,设垂足为L,则AH=2OL   

9、三角形的外心,垂心,重心在同一条直线(欧拉线)上。   

10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上,   

11、欧拉定理:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上   

12、库立奇*大上定理:(圆内接四边形的九点圆)   圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。   

13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点,内切圆的半径公式:r=(s-a)(s-b)(s-c)s,s为三角形周长的一半   

14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点   

15、中线定理:(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P,则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)   

16、斯图尔特定理:P将三角形ABC的边BC内分成m:n,则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2  

几何图形

17、波罗摩及多定理:圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时,连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD   

18、阿波罗尼斯定理:到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P,位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上   

19、托勒密定理:设四边形ABCD内接于圆,则有AB×CD+AD×BC=AC×BD   

20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边,分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB,则△DEF是正三角形,   

21、爱尔可斯定理1:若△ABC和△DEF都是正三角形,则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。   

22、爱尔可斯定理2:若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形,则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。   

23、梅涅劳斯定理:设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有   BPPC×CQQA×ARRB=1   

24、梅涅劳斯定理的逆定理:(略)   

25、梅涅劳斯定理的应用定理1:设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R,、∠B的平分线交边CA于Q,则P、Q、R三点共线。   

26、梅涅劳斯定理的应用定理2:过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线,分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R,则P、Q、R三点共线   

27、塞瓦定理:设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线,分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R,则BPPC×CQQA×ARRB()=1.   

28、塞瓦定理的应用定理:设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E,又设BE和CD交于S,则AS一定过边BC的中心M   

29、塞瓦定理的逆定理:(略)   

30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1:三角形的三条中线交于一点   

31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2:设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T,则AR、BS、CT交于一点。   

32、西摩松定理:从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线,设其垂足分别是D、E、R,则D、E、R共线,(这条直线叫西摩松线)   

33、西摩松定理的逆定理:(略)   

34、史坦纳定理:设△ABC的垂心为H,其外接圆的任意点P,这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。   

35、史坦纳定理的应用定理:△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条(与西摩松线平行的)直线上。这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线。   

36、波朗杰、腾下定理:设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R,则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是:弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).   

37、波朗杰、腾下定理推论1:设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点,若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点,则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点   

38、波朗杰、腾下定理推论2:在推论1中,三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。

39、波朗杰、腾下定理推论3:考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线,如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦,则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点   

40、波朗杰、腾下定理推论4:从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线,设垂足分别是D、E、F,且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N,则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上,这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点。   

41、关于西摩松线的定理1:△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直,其交点在九点圆上。   

42、关于西摩松线的定理2(安宁定理):在一个圆周上有4点,以其中任三点作三角形,再作其余一点的关于该三角形的西摩松线,这些西摩松线交于一点。   

43、卡诺定理:通过△ABC的外接圆的一点P,引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF,与三边的交点分别是D、E、F,则D、E、F三点共线。   

44、奥倍尔定理:通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线,设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N,在△ABC的外接圆取一点P,则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F,则D、E、F三点共线   

45、清宫定理:设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点,P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W,这时,QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F,则D、E、F三点共线   

46、他拿定理:设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点,点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W,这时,如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F,则D、E、F三点共线。(反点:P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点,如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点)   

47、朗古来定理:在同一圆同上有A1B1C1D14点,以其中任三点作三角形,在圆周取一点P,作P点的关于这4个三角形的西摩松线,再从P向这4条西摩松线引垂线,则四个垂足在同一条直线上。   

48、九点圆定理:三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点[连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点]九点共圆[通常称这个圆为九点圆[nine-point circle],或欧拉圆,费尔巴哈圆.   

49、一个圆周上有n个点,从其中任意n-1个点的重心,向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。   

50、康托尔定理1:一个圆周上有n个点,从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。   

51、康托尔定理2:一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点,则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。   

52、康托尔定理3:一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点,则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。   

53、康托尔定理4:一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点,则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。   

54、费尔巴赫定理:三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。   

55、莫利定理:将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。   

56、牛顿定理1:四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点,三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。

几何图形

  

57、牛顿定理2:圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心,三点共线。   

58、笛沙格定理1:平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线。   

59、笛沙格定理2:相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线。   

60、布利安松定理:连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F,则这三线共点。   61、巴斯加定理:圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延长线的)交点共线[4]

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