伊斯兰之源

Languages
  1. home

  2. article

  3. 积分学

积分学

Rate this post

 

积分是微积分学与数学分析的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说,对于一个给定的正实值函数 f(x) , f(x) 在一个实数区间[a,b]上的定积分,可以理解为在Oxy坐标平面上,由曲线 (x,f(x)) 、直线x = a,x = b 以及 x 轴围成的曲边梯形的面积值(一个确定的实数值)。

目录

1基本内容

2与微分学

3基本内容

4与微分学

编辑本段基本内容

  积分
  1、谓积累时差。《谷梁传·文公六年》:“闰月者,附月之余日也,积分而成于月者也。”范宁注:“积众月之余分,以成此月。”
  2、元、明、清三代国子监考核学生学习成绩、选拔人才的方法。 
  《元史·选举志一》:“泰定三年夏六月,更积分而为贡举,并依世祖旧制。”
  明·苏伯衡《送楼生用章赴国学序》:“业成然后积分,积分及格然后私试。”
  《清史稿·选举志一》:“积分历事之法,国初行之。监生坐监期满,拨历部院练习政体。”
  3、比赛分数的总和;一个积累起来的分数,现在网上,有很多的积分活动。像各种电子邮箱,qq等。
  4、主要用于消除静差,提高系统的无差度。积分作用的强弱取决于积分时间常数,越大,积分作用越弱,反之则越强。
  f的不定积分(或称原函数)是任何函数F,它的导函数是函数f;不定积分不是唯一的:只要F是f的不定积分,那么F+C也是(C为常数),但除此以外,f也没有别的不定积分了,因此f的不定积分在相差一个常数的意义下唯一。
  积分的基本原理:微积分基本定理,由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独自确立。微积分基本定理将微分和积分联系在一起,这样,通过找出一个函数的原函数,就可以方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数已成为高等数学中最基本的工具,并在自然科学和工程学中得到广泛运用。
  积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出(参见条目黎曼积分)。黎曼的定义运用了极限的概念,把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起,更高级的积分定义逐渐出现,有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说,路径积分是多元函数的积分,积分的区间不再是一条线段(区间[a,b]),而是一条平面上或空间中的曲线段;在面积积分中,曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。
  对积分概念的推广来自于物理学的需要,并体现在许多重要的物理定律中,尤其是电动力学。现代的积分概念基于测度论,主要是由昂利·勒贝格建立的勒贝格积分。

编辑本段与微分学

  与微分学联系密切,共同组成了分析学的一个基本分支──微积分学。积分学主要研究积分的性质、计算及其在自然科学与技术科学中的应用。积分学的最基本的概念是关于一元函数的定积分与不定积分。蕴含在定积分概念中的基本思想是通过有限逼近无限。因此极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法。定积分定义比较完整地概括了积分思想,也比较深刻地揭示了概念的实质。然而这样定义的积分,除非是在某些极为特殊的情况下,很难直接地用于实际的计算。通常的办法是先计算被积函数的不定积分,再利用牛顿-莱布尼茨公式算出它的定积分值。不过,即使是对于初等函数,计算不定积分的问题也不能完全地得到解决,因为初等函数的不定积分未必仍然是初等函数。所以不得不考虑进行积分的近似计算并且相应地引进一些非初等函数的新函数。所有这一切使得积分的计算成为很突出的问题。
  定积分
  促成定积分概念形成的一个问题是几何方面的计算平面上的曲边形面积。这个问题相当古老。尽管面积概念自古就已被直观地、经验地理解着,却缺乏一般可行的计算方法。如阿基米德等古希腊数学家,用所谓“穷竭法”算出了圆、弓形与抛物线弓形的面积。中国古代数学家刘徽创造了所谓“割圆术”,他从圆内接正六边形起算,令边数成倍地增加,再逐个算出正六边形,正十二边形,正二十四边形……的面积,然后用这一串面积序列来逼近圆面积。不过,古代关于计算面积的朴素思想远未达到形成面积概念的境界。他们只完成了一些特殊的曲边形面积的计算。直到17世纪,I.积分是微积分学与数学分析的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说,对于一个给定的正实值函数 f(x) , f(x) 在一个实数区间[a,b]上的定积分,可以理解为在Oxy坐标平面上,由曲线 (x,f(x)) 、直线x = a,x = b 以及 x 轴围成的曲边梯形的面积值(一仲确定的实数值)。

编辑本段基本内容

  积分
  1、谓积累时差。《谷梁传·文公六年》:“闰月者,附月之余日也,积分而成于月者也。”范宁注:“积众月之余分,以成此月。”
  2、元、明、清三代国子监考核学生学习成绩、选拔人才的方法。 
  《元史·选举志一》:“泰定三年夏六月,更积分而为贡举,并依世祖旧制。”
  明·苏伯衡《送楼生用章赴国学序》:“业成然后积分,积分及格然后私试。”
  《清史稿·选举志一》:“积分历事之法,国初行之。监生坐监期满,拨历部院练习政体。”
  3、比赛分数的总和;一个积累起来的分数,现在网上,有很多的积分活动。像各种电子邮箱,qq等。
  4、主要用于消除静差,提高系统的无差度。积分作用的强弱取决于积分时间常数,越大,积分作用越弱,反之则越强。
  f的不定积分(或称原函数)是任何函数F,它的导函数是函数f;不定积分不是唯一的:只要F是f的不定积分,那么F+C也是(C为常数),但除此以外,f也没有别的不定积分了,因此f的不定积分在相差一个常数的意义下唯一。
  积分的基本原理:微积分基本定理,由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独自确立。微积分基本定理将微分和积分联系在一起,这样,通过找出一个函数的原函数,就可以方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数已成为高等数学中最基本的工具,并在自然科学和工程学中得到广泛运用。
  积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出(参见条目黎曼积分)。黎曼的定义运用了极限的概念,把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起,更高级的积分定义逐渐出现,有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说,路径积分是多元函数的积分,积分的区间不再是一条线段(区间[a,b]),而是一条平面上或空间中的曲线段;在面积积分中,曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。
  对积分概念的推广来自于物理学的需要,并体现在许多重要的物理定律中,尤其是电动力学。现代的积分概念基于测度论,主要是由昂利·勒贝格建立的勒贝格积分。

编辑本段与微分学

  与微分学联系密切,共同组成了分析学的一个基本分支──微积分学。积分学主要研究积分的性质、计算及其在自然科学与技术科学中的应用。积分学的最基本的概念是关于一元函数的定积分与不定积分。蕴含在定积分概念中的基本思想是通过有限逼近无限。因此极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法。定积分定义比较完整地概括了积分思想,也比较深刻地揭示了概念的实质。然而这样定义的积分,除非是在某些极为特殊的情况下,很难直接地用于实际的计算。通常的办法是先计算被积函数的不定积分,再利用牛顿-莱布尼茨公式算出它的定积分值。不过,即使是对于初等函数,计算不定积分的问题也不能完全地得到解决,因为初等函数的不定积分未必仍然是初等函数。所以不得不考虑进行积分的近似计算并且相应地引进一些非初等函数的新函数。所有这一切使得积分的计算成为很突出的问题。
  定积分
  促成定积分概念形成的一个问题是几何方面的计算平面上的曲边形面积。这个问题相当古老。尽管面积概念自古就已被直观地、经验地理解着,却缺乏一般可行的计算方法。如阿基米德等古希腊数学家,用所谓“穷竭法”算出了圆、弓形与抛物线弓形的面积。中国古代数学家刘徽创造了所谓“割圆术”,他从圆内接正六边形起算,令边数成倍地增加,再逐个算出正六边形,正十二边形,正二十四边形……的面积,然后用这一串面积序列来逼近圆面积。不过,古代关于计算面积的朴素思想远未达到形成面积概念的境界。他们只完成了一些特殊的曲边形面积的计算。直到17世纪,I.牛顿、G.W.莱布尼茨才明确地提出了面积计算的普遍方法。 牛顿、G.W.莱布尼茨才明确地提出了面积计算的普遍方法。

·         参考资料:

1.

http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E7%A7%AF%E5%88%86%E5%AD%A6&variant=zh-cn 

http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%BE%AE%E7%A7%AF%E5%88%86…

2.

维基 

http://zh.wikipedia.org

·         开放分类:

http://baike.soso.com/h2782404.htm